Задание 9 ЕГЭ по профильной математике

Точка минимума функции — точка, где производная меняет знак с минуса на плюс, то есть график $f\prime (x)$ пересекает ось абсцисс снизу вверх.

На отрезке $[-2;6]$ график производной пересекает ось три раза: между $-1$ и $0$ (сверху вниз — максимум), около $x=3$ (снизу вверх — минимум) и между $5$ и $6$ (сверху вниз — максимум). Точка минимума одна.

Производная отрицательна там, где функция убывает (график идёт вниз слева направо).

Убывает функция в точках $x_3$, $x_4$ и $x_7$; в остальных отмеченных точках она возрастает. Таких точек три.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

Касательная проходит через точки $(-1;3)$ и $(4;2)$ (отмечены на рисунке): $k=\frac{2-3}{4-(-1)}=-\frac{1}{5}=-\mathrm{0,2}$.

Найдём производную: y′ = 3x² + 32x + 64 = (3x + 8)(x + 8).
Критические точки: x = −8 и x = −8/3.
При x < −8 производная положительна, а при −8 < x < −8/3 отрицательна.
В точке x = −8 функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому это точка максимума.
Ответ: −8.

Функция f(x) возрастает на промежутках, где f′(x) > 0.
На этих промежутках график производной расположен выше оси абсцисс.
По рисунку этому условию соответствуют точки x₃, x₄, x₅ и x₆.
Всего таких точек четыре.
Ответ: 4.

Область определения: (x − 2)⁹ > 0, то есть x > 2.
На этой области y = 9x − 9ln(x − 2) − 8, поэтому y′ = 9 − 9/(x − 2).
Преобразуем: y′ = 9(x − 3)/(x − 2); производная равна нулю при x = 3.
При 2 < x < 3 производная отрицательна, при x > 3 положительна.
Функция переходит от убывания к возрастанию, поэтому x = 3 — точка минимума.
Ответ: 3.

Значение производной f′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной.
По сетке касательная проходит через точки (−3; 3) и (−1; −2).
Её угловой коэффициент: k = (−2 − 3)/(−1 − (−3)) = −5/2 = −2,5.
Следовательно, f′(x₀) = −2,5.
Ответ: −2,5.

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику.
В точках −2 и −1 график убывает, поэтому производные отрицательны.
В точках 3 и 4 график возрастает, поэтому производные положительны.
В точке −1 наклон графика вниз круче, чем в точке −2, поэтому производная там меньше.
Ответ: −1.

Производная f′(x) положительна в точках, где график функции поднимается слева направо.

Среди отмеченных точек это x₁, x₂, x₃ и x₅.

Таких точек четыре.

Ответ: 4.

Точка экстремума функции определяется сменой знака её производной.

На графике y = f′(x) нужно найти пересечения оси абсцисс, при которых производная меняет знак.

На отрезке [−17; −4] таких пересечений четыре: два со сменой знака с «−» на «+» и два с «+» на «−».

Следовательно, функция имеет четыре точки экстремума на указанном отрезке.

Ответ: 4.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «−».

На графике y = f′(x) этому соответствует пересечение оси абсцисс сверху вниз.

На отрезке [−11; 4] таких пересечений два: при x = −5 и x = 2.

Ответ: 2.

Найдём производную: y′ = 3x² − 147 = 3(x − 7)(x + 7).

Производная равна нулю при x = −7 и x = 7.

При x < −7 производная положительна, при −7 < x < 7 отрицательна, при x > 7 положительна.

В точке x = −7 функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому это точка максимума.

Ответ: −7.

Область определения: x ≥ 0. Запишем функцию как y = 2x√x − 21x + 16.

При x > 0 производная равна y′ = 3√x − 21.

Решим уравнение y′ = 0: √x = 7, откуда x = 49.

При 0 < x < 49 производная отрицательна, а при x > 49 положительна.

Функция непрерывна при x = 0, убывает на [0; 49] и возрастает на [49; +∞), поэтому точка минимума — 49.

Ответ: 49.

Область определения: x ≥ 0. Найдём производную: y′ = 3√x − 15 при x > 0.

Решим уравнение y′ = 0: √x = 5, откуда x = 25.

При 0 < x < 25 производная отрицательна, при x > 25 — положительна.

Функция убывает, затем возрастает, поэтому x = 25 — точка минимума.

Ответ: 25.

Область определения: x > 2. По формуле производной логарифма y′ = 10/(x − 2) − 10.

Решим уравнение y′ = 0: 1/(x − 2) = 1, откуда x = 3.

При 2 < x < 3 производная положительна, при x > 3 — отрицательна.

Функция возрастает, затем убывает, поэтому x = 3 — точка максимума.

Ответ: 3.

Область определения: x > 0. Найдём производную: y′ = 2x − 33 + 136/x.

Приведём к общему знаменателю: y′ = (2x² − 33x + 136)/x = (x − 8)(2x − 17)/x.

Производная равна нулю при x = 8 и x = 17/2.

На промежутках (0; 8), (8; 17/2), (17/2; +∞) знаки производной соответственно «+», «−», «+».

В точке x = 8 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому это точка максимума.

Ответ: 8.

Функция определена при всех действительных x. Применим правило производной произведения.

y′ = e^(3 − x) − (x + 3)e^(3 − x) = (−x − 2)e^(3 − x).

Поскольку e^(3 − x) > 0, производная равна нулю только при x = −2.

При x < −2 производная положительна, при x > −2 — отрицательна.

Функция возрастает, затем убывает, поэтому x = −2 — точка максимума.

Ответ: −2.

Для поиска наименьшего значения непрерывной функции на отрезке проверим его концы и внутренние критические точки.

По правилу производной произведения y′ = √x + x/(2√x) − 9 = 3√x/2 − 9.

Из y′ = 0 получаем √x = 6, то есть x = 36; эта точка принадлежит отрезку [1; 50].

Вычислим: y(1) = 17; y(36) = 216 − 324 + 25 = −83; y(50) = 250√2 − 425.

Так как √2 > 7/5, то y(50) > 350 − 425 = −75 > −83. Наименьшее из найденных значений равно −83.

Ответ: −83.

По правилу производной произведения:

y′ = (16x − 40)e^(x + 4) + (8x² − 40x + 40)e^(x + 4) = 8x(x − 3)e^(x + 4).

Поскольку e^(x + 4) > 0, знак производной определяется произведением x(x − 3).

При x < 0 производная положительна, при 0 < x < 3 отрицательна, при x > 3 положительна.

В точке x = 3 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.

Ответ: 3.

Найдём производную многочлена: y′ = 3x² + 60x + 225.

Разложим на множители: y′ = 3(x + 15)(x + 5). Критические точки: −15 и −5.

При x < −15 производная положительна, при −15 < x < −5 отрицательна, при x > −5 положительна.

В точке x = −15 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому функция имеет максимум.

Ответ: −15.