Сложные события · 55 заданий ФИПИ с ответами
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.
Выстрелы независимы. Попадание — , промах — .
Попал, попал, промах, промах: .
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Батарейку бракуют в двух несовместных случаях.
Она неисправна и забракована: . Она исправна (вероятность ) и забракована по ошибке: .
Итого: .
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.
Пусть — «масса меньше 810 г», — «масса больше 790 г». Любая буханка попадает хотя бы в одно из этих событий, поэтому .
По формуле сложения .
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Противоположное событие к «хотя бы одна лампа не перегорит» — «все три лампы перегорят».
По независимости вероятность перегорания всех ламп равна 0,7³ = 0,343.
Вероятность противоположного события вычитаем из единицы: 1 − 0,343 = 0,657.
Ответ: 0,657.
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Противоположное событие к «хотя бы одна лампа не перегорит» — «все три лампы перегорят».
По независимости вероятность перегорания всех ламп равна 0,8³ = 0,512.
Искомая вероятность равна 1 − 0,512 = 0,488.
Ответ: 0,488.
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,86. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.
Обозначим A — масса меньше 810 г, B — масса больше 790 г.
Событие A ∪ B достоверно: любая масса удовлетворяет хотя бы одному из этих условий.
По формуле сложения P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B).
Следовательно, P(790 < m < 810) = 0,95 + 0,86 − 1 = 0,81.
Ответ: 0,81.
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,5. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Противоположное событие к «хотя бы одна лампа не перегорит» — «все три лампы перегорят».
По независимости вероятность перегорания всех ламп равна 0,5³ = 0,125.
Искомая вероятность равна 1 − 0,125 = 0,875.
Ответ: 0,875.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени
и не попадёт в две последние.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 − 0,6 = 0,4.
Применим правило умножения вероятностей независимых результатов выстрелов.
Для последовательности «попадание, попадание, промах, промах» получаем 0,6 · 0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,0576.
Ответ: 0,0576.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Обозначим через A и B события, что кофе закончится в первом и втором автоматах соответственно.
По формуле сложения вероятностей P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, равна 0,2 + 0,2 − 0,12 = 0,28.
Противоположное событие — кофе останется в обоих автоматах. Его вероятность равна 1 − 0,28 = 0,72.
Ответ: 0,72.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Батарейка может быть забракована в двух несовместных случаях: она неисправна или исправна.
Вероятность забраковать неисправную батарейку равна 0,04 · 0,96 = 0,0384.
Вероятность исправности равна 1 − 0,04 = 0,96, поэтому вероятность ошибочной браковки равна 0,96 · 0,01 = 0,0096.
По формуле полной вероятности вероятность браковки равна 0,0384 + 0,0096 = 0,048.
Ответ: 0,048.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени
и не попадёт в последнюю.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 − 0,9 = 0,1.
Выстрелы считаем независимыми; применяем правило умножения вероятностей.
Вероятность попасть в три первые мишени и промахнуться по последней равна 0,9 · 0,9 · 0,9 · 0,1 = 0,0729.
Ответ: 0,0729.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,07. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Обозначим через A и B события, что кофе закончится в первом и втором автоматах соответственно.
По формуле сложения вероятностей P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, равна 0,2 + 0,2 − 0,07 = 0,33.
Вероятность противоположного события, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,33 = 0,67.
Ответ: 0,67.
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?
Вероятность промаха при каждом выстреле равна 1 − 0,5 = 0,5. Выстрелы считаем независимыми.
С одним патроном вероятность поразить цель равна 0,5 < 0,7, поэтому одного патрона недостаточно.
С двумя патронами вероятность двух промахов равна 0,5 · 0,5 = 0,25.
По правилу противоположного события вероятность хотя бы одного попадания равна 1 − 0,25 = 0,75 ≥ 0,7.
Следовательно, наименьшее необходимое количество патронов равно 2.
Ответ: 2.
Помещение освещается фонарём с четырьмя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Противоположное событие к «хотя бы одна лампа не перегорит» — «все четыре лампы перегорят».
По правилу умножения вероятностей независимых событий вероятность перегорания всех ламп равна 0,4⁴ = 0,0256.
Вероятность противоположного события равна 1 − 0,0256 = 0,9744.
Ответ: 0,9744.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Обозначим через A событие «кофе закончится в первом автомате», через B — «во втором».
По формуле вероятности объединения P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, равна 0,1 + 0,1 − 0,03 = 0,17.
Кофе останется в обоих автоматах с вероятностью 1 − 0,17 = 0,83.
Ответ: 0,83.
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,8?
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 − 0,5 = 0,5.
По правилу умножения вероятностей независимых испытаний вероятность промахнуться n раз подряд равна 0,5ⁿ.
Вероятность хотя бы одного попадания за n выстрелов равна 1 − 0,5ⁿ.
Для двух патронов получаем 1 − 0,5² = 0,75 < 0,8; для трёх — 1 − 0,5³ = 0,875 ≥ 0,8.
Вероятность попадания возрастает с количеством патронов, поэтому наименьшее подходящее количество — 3.
Ответ: 3.
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 10».
При условии, что шестёрка не выпала, в каждом броске возможны числа 1, 2, 3, 4, 5.
Всего имеется 5 · 5 = 25 равновероятных упорядоченных пар результатов.
Сумму 10 даёт только одна из них: (5; 5).
По классической формуле вероятности получаем P = 1/25 = 0,04.
Ответ: 0,04.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,06. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того,
что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Батарейку могут забраковать в двух несовместных случаях: она неисправна или она исправна.
По правилу умножения вероятность забраковать неисправную батарейку равна 0,06 · 0,96 = 0,0576.
Вероятность исправности равна 1 − 0,06 = 0,94, поэтому вероятность ошибочной браковки равна 0,94 · 0,01 = 0,0094.
Складывая вероятности несовместных случаев, получаем 0,0576 + 0,0094 = 0,067.
Ответ: 0,067.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Применим формулу вероятности объединения событий: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, равна 0,2 + 0,2 − 0,18 = 0,22.
Событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно этому событию.
Его вероятность равна 1 − 0,22 = 0,78.
Ответ: 0,78.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 − 0,9 = 0,1.
По правилу умножения вероятностей независимых событий перемножим вероятности двух попаданий и двух промахов в указанном порядке.
P = 0,9 · 0,9 · 0,1 · 0,1 = 0,0081.
Ответ: 0,0081.
