Планиметрия · 61 задание ФИПИ с ответами
| В треугольнике угол равен — биссектриса, угол равен Найдите |
|
Биссектриса AD делит угол A на два равных угла.
Поэтому ∠A = 2 · ∠CAD = 2 · 30° = 60°.
По теореме о сумме углов треугольника ∠B = 180° − 60° − 54° = 66°.
Ответ: 66.
| Стороны параллелограмма равны 18 и 20. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на боьшую сторону параллелограмма. |
|
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Меньшая сторона равна 18, поэтому S = 18 · 10 = 180.
Для большей стороны 20 получаем высоту h = S/20 = 180/20 = 9.
Ответ: 9.
| Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах. |
|
Вписанные углы CBD и CAD опираются на одну дугу CD, поэтому ∠CBD = ∠CAD = 41°.
Диагональ BD проходит внутри угла ABC и делит его на углы ABD и DBC.
Следовательно, ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 62° + 41° = 103°.
Ответ: 103.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Четырёхугольник вписан в окружность. |
|
Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
∠DBC = 120° − 43° = 77°.
Вписанные углы CAD и CBD опираются на одну дугу CD, поэтому равны.
Следовательно, ∠CAD = 77°.
Ответ: 77.
| Острый угол прямоугольного треугольника равен Найдите величину угла между высотой и биссектрисой проведёнными из вершины прямого угла Ответ дайте в градусах. |
|
Высота CH перпендикулярна гипотенузе AB, поэтому треугольник BCH прямоугольный.
∠HCB = 90° − ∠B = 90° − 25° = 65°.
Биссектриса CD делит прямой угол ACB пополам: ∠DCB = 45°.
Угол между CH и CD равен 65° − 45° = 20°.
Ответ: 20.
| Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны и Найдите бо́льший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
|
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Данные углы не противоположные, поскольку 59° + 102° = 161° ≠ 180°.
Поэтому оставшиеся углы равны 180° − 59° = 121° и 180° − 102° = 78°.
Больший из них равен 121°.
Ответ: 121.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите . |
|
В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза — AB.
По теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = 100 − 51 = 49, откуда BC = 7.
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin A = BC/AB = 7/10 = 0,7.
Ответ: 0,7.
| Отрезки и диаметры окружности |
|
Центральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу AB.
Поэтому ∠AOB = 2∠ACB = 2 · 41° = 82°.
Поскольку BD — диаметр, лучи OB и OD противоположны, а углы AOB и AOD смежные.
∠AOD = 180° − 82° = 98°.
Ответ: 98.
| В треугольнике угол равен — биссектриса, угол равен Найдите величину угла Ответ дайте в градусах. |
|
Биссектриса AD делит угол A пополам, поэтому ∠A = 2∠CAD.
∠A = 2 · 29° = 58°.
По сумме углов треугольника ∠ABC = 180° − 58° − 55° = 67°.
Точка D лежит на стороне BC, поэтому ∠ABD = ∠ABC = 67°.
Ответ: 67.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите . |
|
В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = 5.
По теореме Пифагора AC = √(AB² − BC²) = √(25 − 16) = 3.
Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos A = AC/AB.
cos A = 3/5 = 0,6.
Ответ: 0,6.
| Найдите величину угла если его сторона касается окружности с центром отрезок пересекает окружность в точке (см. рисунок), а дуга окружности, заключённая внутри этого угла, равна Ответ дайте в градусах. |
|
Радиус OA перпендикулярен касательной CA, поэтому ∠OAC = 90°.
Центральный угол AOB равен градусной мере дуги AB: ∠AOB = 66°.
Точка B лежит на отрезке OC, поэтому ∠AOC = ∠AOB = 66°.
По сумме углов треугольника AOC: ∠ACO = 180° − 90° − 66° = 24°.
Ответ: 24.
| Отрезки и диаметры окружности |
|
Вписанный угол ACB опирается на дугу AB.
Центральный угол AOB, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше: ∠AOB = 2 · 59° = 118°.
Так как BD — диаметр, лучи OB и OD противоположны, а углы AOB и AOD смежные.
∠AOD = 180° − 118° = 62°.
Ответ: 62.
| В треугольнике сторона равна , угол равен Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности. |
|
По расширенной теореме синусов AB/sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности.
Следовательно, R = AB/(2 sin C).
sin 120° = sin 60° = √3/2.
R = (2√3)/(2 · √3/2) = 2.
Ответ: 2.
| Найдите центральный угол, если он на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах. |
|
Центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
Пусть вписанный угол равен x°, тогда центральный равен 2x°.
По условию 2x − x = 28, откуда x = 28.
Центральный угол равен 2 · 28 = 56°.
Ответ: 56.
| В треугольнике угол равен — биссектриса, угол равен Найдите |
|
Биссектриса AD делит угол A пополам: ∠CAD = ∠BAD = 23°.
В треугольнике ACD сумма углов равна 180°: ∠ADC = 180° − 54° − 23° = 103°.
Поскольку D лежит на стороне BC, углы ADB и ADC смежные.
Следовательно, ∠ADB = 180° − 103° = 77°.
Ответ: 77.
| Отрезки и диаметры окружности |
|
Поскольку BD — диаметр, лучи OB и OD противоположны.
Поэтому ∠AOB = 180° − ∠AOD = 180° − 130° = 50°.
Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу AB.
Следовательно, ∠ACB = 50°/2 = 25°.
Ответ: 25.
| Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. |
|
Вписанные углы CBD и CAD опираются на одну дугу CD, поэтому ∠CBD = ∠CAD = 44°.
Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Следовательно, ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 98° − 44° = 54°.
Ответ: 54.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите . |
|
В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = 10.
По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 100 − 19 = 81, поэтому AC = 9.
Косинус угла A равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos A = AC/AB = 9/10 = 0,9.
Ответ: 0,9.
| Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны и . Найдите бо́льший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
|
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Углы 99° и 117° не противоположные, поскольку 99° + 117° ≠ 180°.
Оставшиеся углы равны 180° − 99° = 81° и 180° − 117° = 63°.
Больший из них равен 81°.
Ответ: 81.
| В четырёхугольник вписана окружность, Найдите периметр четырёхугольника |
|
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.
Поэтому BC + AD = 14 + 17 = 31.
Периметр равен P = (AB + CD) + (BC + AD) = 31 + 31 = 62.
Ответ: 62.
