Решите неравенство
.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Знаменатель должен быть отличен от нуля: 5x − x² − 4 = −(x − 1)(x − 4) ≠ 0.
Следовательно, x ≠ 1 и x ≠ 4.
б) Равносильные преобразования. Используем равенство 10ˣ = 2ˣ · 5ˣ и раскладываем числитель на множители:
10ˣ − 25 · 2ˣ − 2 · 5ˣ + 50 = 2ˣ(5ˣ − 25) − 2(5ˣ − 25) = (2ˣ − 2)(5ˣ − 25).
На ОДЗ исходное неравенство равносильно (2ˣ − 2)(5ˣ − 25)/[−(x − 1)(x − 4)] ≥ 0.
Поскольку показательные функции с основаниями 2 и 5 возрастают, выражение 2ˣ − 2 имеет тот же знак, что x − 1, а выражение 5ˣ − 25 — тот же знак, что x − 2.
в) Метод интервалов. Критические точки: 1, 2 и 4; точки 1 и 4 исключены из ОДЗ.
На (−∞; 1) числитель положителен, знаменатель отрицателен, поэтому дробь отрицательна.
На (1; 2) числитель отрицателен, знаменатель положителен, поэтому дробь отрицательна.
На (2; 4) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна.
На (4; +∞) числитель положителен, знаменатель отрицателен, поэтому дробь отрицательна.
При x = 2 числитель равен нулю, а знаменатель равен 2, поэтому точка 2 включается. Точка 4 исключена.
Ответ: [2; 4).