Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
2x² + 12 > 0 при любом x; x² − x + 12 = (x − 1/2)² + 47/4 > 0.
Остаётся условие 2 − 1/x > 0, то есть (2x − 1)/x > 0.
Методом интервалов получаем ОДЗ: x ∈ (−∞; 0) ∪ (1/2; +∞).
б) Равносильные преобразования.
Объединим логарифмы слева. Поскольку основание 7 > 1, на ОДЗ исходное неравенство равносильно:
(2x² + 12)/(x² − x + 12) ≥ (2x − 1)/x.
Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю:
[x(2x² + 12) − (2x − 1)(x² − x + 12)]/[x(x² − x + 12)] ≥ 0.
Раскрывая скобки и раскладывая числитель на множители, получаем:
(3x − 4)(x − 3)/[x(x² − x + 12)] ≥ 0.
в) Метод интервалов и границы.
Множитель x² − x + 12 положителен, поэтому знак дроби определяется выражением (3x − 4)(x − 3)/x.
Критические точки: 0, 4/3, 3. На интервалах (−∞; 0), (0; 4/3), (4/3; 3), (3; +∞) знаки соответственно: −, +, −, +.
Неравенство выполняется при x ∈ (0; 4/3] ∪ [3; +∞). Точки 4/3 и 3 включаются, поскольку обращают числитель в нуль.
Пересекаем с ОДЗ; точка 1/2 исключена, поскольку аргумент правого логарифма равен нулю.
Ответ: (1/2; 4/3] ∪ [3; +∞).