Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Знаменатель должен быть отличен от нуля: 2 · 64ˣ − 32 ≠ 0.
Отсюда 64ˣ ≠ 16, то есть x ≠ 2/3.
Положим t = 8ˣ, тогда t > 0, 64ˣ = t² и 8ˣ⁺¹ = 8t. Ограничение ОДЗ принимает вид t ≠ 4.
б) Равносильные преобразования.
Получаем (8t − 40)/(2t² − 32) ≤ 1.
Переносим единицу влево и приводим к общему знаменателю:
(−2t² + 8t − 8)/(2t² − 32) ≤ 0.
Разложив числитель и знаменатель на множители, получаем:
−(t − 2)²/[(t − 4)(t + 4)] ≤ 0.
Умножение на −1 меняет знак неравенства: (t − 2)²/[(t − 4)(t + 4)] ≥ 0.
в) Метод интервалов и границы.
При t > 0 множитель t + 4 положителен. Критические точки на этой области: 2 и 4.
На интервалах (0; 2) и (2; 4) дробь отрицательна, на (4; +∞) положительна.
При t = 2 дробь равна нулю, поэтому эта точка включается; при t = 4 дробь не определена.
Следовательно, t = 2 или t > 4.
Возвращаемся к x: 8ˣ = 2 даёт x = 1/3; из 8ˣ > 4, поскольку 8 > 1, следует x > 2/3.
Ответ: {1/3} ∪ (2/3; +∞).