Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:
2/x + 2 > 0, x + 3 > 0, (x + 6)/x² > 0.
Первое условие даёт x ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞), второе — x > −3, третье — x > −6, x ≠ 0.
Следовательно, ОДЗ: x ∈ (−3; −1) ∪ (0; +∞).
б) Равносильные преобразования.
На ОДЗ по свойству разности логарифмов получаем:
log_5(2(x + 1)/(x(x + 3))) ≤ log_5((x + 6)/x²).
Поскольку основание 5 > 1, логарифмическая функция возрастает, поэтому:
2(x + 1)/(x(x + 3)) ≤ (x + 6)/x².
Перенесём правую часть влево и приведём к общему знаменателю:
(2x(x + 1) − (x + 6)(x + 3))/(x²(x + 3)) ≤ 0,
(x − 9)(x + 2)/(x²(x + 3)) ≤ 0.
в) Метод интервалов и границы.
На ОДЗ знаменатель x²(x + 3) положителен, поэтому равносильно (x − 9)(x + 2) ≤ 0.
Нули произведения: −2 и 9. Знаки на промежутках (−∞; −2), (−2; 9), (9; +∞) соответственно: +, −, +.
Следовательно, x ∈ [−2; 9]. Пересечение с ОДЗ даёт [−2; −1) ∪ (0; 9].
Точки −2 и 9 входят: они принадлежат ОДЗ и дают равенство. Точки −1 и 0 исключены по ОДЗ.
Ответ: [−2; −1) ∪ (0; 9].