Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Показательные выражения определены при всех действительных x. Знаменатель должен отличаться от нуля:
50x² − 110x + 60,5 = 50(x − 1,1)² ≠ 0.
Следовательно, ОДЗ: x ≠ 1,1. На ОДЗ знаменатель положителен.
б) Равносильные преобразования.
Положим t = 3ˣ, тогда t > 0. Числитель преобразуется следующим образом:
27ˣ − 9ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ − 27 = t³ − 9t² + 27t − 27 = (t − 3)³.
Поэтому исходное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству:
(3ˣ − 3)³ / (50(x − 1,1)²) ≥ 0.
Поскольку знаменатель положителен, а куб числа имеет тот же знак, что и само число, получаем:
3ˣ − 3 ≥ 0 ⇔ 3ˣ ≥ 3¹ ⇔ x ≥ 1.
Последний переход равносилен, поскольку показательная функция с основанием 3 > 1 возрастает.
в) Метод интервалов и граничные точки.
Критические точки исходной дроби: 1 — нуль числителя, 1,1 — нуль знаменателя.
На интервале (−∞; 1) дробь отрицательна, на интервалах (1; 1,1) и (1,1; +∞) положительна.
Точка 1 включается: знаменатель ненулевой, а дробь равна нулю. Точка 1,1 исключается по ОДЗ.
Ответ: [1; 1,1) ∪ (1,1; +∞).