Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Знаменатель не должен равняться нулю: 3ˣ ≠ 84, то есть x ≠ log_3 84.
Положим t = 3ˣ. Тогда t > 0 и t ≠ 84.
Исходное неравенство равносильно t + 243/(t − 84) ≤ 0.
б) Равносильные преобразования.
Приведём выражение к общему знаменателю:
(t² − 84t + 243)/(t − 84) ≤ 0.
Так как 3 + 81 = 84 и 3 · 81 = 243, получаем:
(t − 3)(t − 81)/(t − 84) ≤ 0.
в) Метод интервалов и возврат к x.
С учётом t > 0 рассматриваем точки 3, 81 и 84.
Знаки дроби на промежутках (0; 3), (3; 81), (81; 84), (84; +∞) соответственно: −, +, −, +.
Нули числителя 3 и 81 включаем, точку 84 исключаем, поскольку знаменатель равен нулю.
Получаем t ∈ (0; 3] ∪ [81; 84).
Следовательно, 0 < 3ˣ ≤ 3 или 81 ≤ 3ˣ < 84.
Функция 3ˣ возрастает, причём 3 = 3¹ и 81 = 3⁴, поэтому x ≤ 1 или 4 ≤ x < log_3 84.
Ответ: (−∞; 1] ∪ [4; log_3 84).