Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительными:
(x − 6)(x − 7) > 0 и (x − 7)⁷/(x − 6) > 0.
Оба условия выполняются при x ∈ (−∞; 6) ∪ (7; +∞).
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ по свойствам логарифмов исходное неравенство равносильно:
log₁₂(((x − 6)(x − 7))⁷) − log₁₂((x − 7)⁷/(x − 6)) ≤ 8.
Объединяя логарифмы и сокращая ненулевой множитель (x − 7)⁷, получаем log₁₂((x − 6)⁸) ≤ 8.
Поскольку основание 12 > 1, равносильно получаем (x − 6)⁸ ≤ 12⁸.
Это равносильно |x − 6| ≤ 12, то есть (x − 18)(x + 6) ≤ 0.
в) Метод интервалов и границы. Корни произведения: −6 и 18. Знаки на промежутках (−∞; −6), (−6; 18), (18; +∞) соответственно +, −, +.
Следовательно, −6 ≤ x ≤ 18. Точки −6 и 18 включаются, поскольку обращают неравенство в равенство и принадлежат ОДЗ.
Пересекаем полученный отрезок с ОДЗ; точки 6 и 7 исключены.
Ответ: [−6; 6) ∪ (7; 18].