Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Для существования логарифмов необходимо x > 0. Все знаменатели должны быть отличны от нуля: log₃ x ≠ 4 и log₃ x ≠ −4. Следовательно, x ≠ 81 и x ≠ 1/81.
б) Равносильные преобразования. Положим t = log₃ x. На ОДЗ log₃(81x) = t + 4, log₃(x⁸) = 8t; при этом t ≠ ±4.
Исходное неравенство принимает вид (t + 4)/(t − 4) + (t − 4)/(t + 4) ≥ (24 − 8t)/(t² − 16).
Перенесём правую часть влево и приведём к общему знаменателю: ((t + 4)² + (t − 4)² − 24 + 8t)/(t² − 16) ≥ 0.
После раскрытия скобок получим (2t² + 8t + 8)/(t² − 16) ≥ 0, то есть 2(t + 2)²/((t − 4)(t + 4)) ≥ 0.
в) Метод интервалов. Критические точки: −4, −2, 4. Точки −4 и 4 исключены по ОДЗ.
На интервалах (−∞; −4), (−4; −2), (−2; 4), (4; +∞) дробь имеет соответственно знаки +, −, −, +.
При t = −2 числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому эта точка входит в решение. Таким образом, t ∈ (−∞; −4) ∪ {−2} ∪ (4; +∞).
Поскольку функция x = 3ᵗ возрастает, получаем 0 < x < 1/81, либо x = 1/9, либо x > 81.
Ответ: (0; 1/81) ∪ {1/9} ∪ (81; +∞).