Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Необходимо x + 4 > 0, (x + 4)² > 0 и (x + 4)² ≠ 1. Аргумент √7 положителен.
При x + 4 > 0 условие (x + 4)² ≠ 1 равносильно x + 4 ≠ 1. Поэтому ОДЗ: x > −4, x ≠ −3.
б) Замена переменной. Пусть t = log₇(x + 4). На ОДЗ t ≠ 0.
По формуле перехода к основанию 7 имеем log₄₉(x + 4) = t/2 и log₍ₓ₊₄₎²(√7) = (1/2)/(2t) = 1/(4t), где во втором логарифме основание равно (x + 4)².
Исходное неравенство равносильно t/2 + 1/(4t) ≤ −3/4.
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю: (2t² + 3t + 1)/(4t) ≤ 0, то есть ((2t + 1)(t + 1))/t ≤ 0.
в) Метод интервалов. Нули числителя: −1 и −1/2; знаменатель обращается в нуль при t = 0.
На промежутках (−∞; −1), (−1; −1/2), (−1/2; 0), (0; +∞) знаки дроби соответственно −, +, −, +.
Таким образом, t ∈ (−∞; −1] ∪ [−1/2; 0). Нули числителя включаем, точку 0 исключаем.
Поскольку функция 7ᵗ возрастает, условие t ≤ −1 даёт 0 < x + 4 ≤ 1/7, откуда −4 < x ≤ −27/7.
Условие −1/2 ≤ t < 0 даёт √7/7 ≤ x + 4 < 1, откуда −4 + √7/7 ≤ x < −3.
Левые границы −27/7 и −4 + √7/7 соответствуют равенству и включаются; точки −4 и −3 исключены ОДЗ.
Ответ: (−4; −27/7] ∪ [−4 + √7/7; −3).