В основании прямой призмы лежит параллелограмм
с углом при вершине На рёбрах и отмечены
точки и соответственно так, что четырёхугольник равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.
а) Докажите, что точка середина ребра
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка делит ребро в отношении
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим через P и R ортогональные проекции точек M и K на плоскость ABCD. Так как призма прямая, P принадлежит AB, R принадлежит BC, MP = KR = h, где h — высота призмы.
Плоскость трапеции пересекает параллельные плоскости оснований призмы по прямым MK и AN. По теореме о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью MK ∥ AN. Следовательно, основания трапеции — MK и AN.
Четырёхугольник PMKR — прямоугольник, поэтому PR = MK и PR ∥ AN. Треугольники BPR и BAN подобны, откуда BP/BA = BR/BN = PR/AN.
Поскольку P лежит на AB, получаем PR ≤ AN. Основания трапеции различны, значит, MK = PR = 1, AN = 2.
Следовательно, BP/BA = BR/BN = 1/2. Поэтому P — середина AB, а R — середина BN.
В прямоугольнике ABB₁A₁ прямая PM параллельна AA₁ и BB₁. По теореме Фалеса из AP = PB следует A₁M = MB₁.
Ответ: а) M — середина A₁B₁, что и требовалось доказать.
б) Трапеция равнобедренная, поэтому AM = KN. По теореме Пифагора AM² = h² + AP² и KN² = h² + RN². Следовательно, AP = RN.
Так как AP = AB/2, а RN = BN/2, получаем AB = BN. Обозначим эту длину через x.
В параллелограмме соседние углы в сумме дают 180°, поэтому ∠ABN = ∠ABC = 120°. По теореме косинусов в треугольнике ABN:
AN² = AB² + BN² − 2AB · BN · cos 120° = 3x².
Так как AN = 2, имеем x = 2/√3. Поэтому BR = BN/2 = 1/√3.
В прямоугольнике BCC₁B₁ имеем B₁K = BR = 1/√3. По условию B₁K : KC₁ = 2 : 3, следовательно, BC = B₁C₁ = (5/2)B₁K = 5/(2√3).
Площадь основания равна S = AB · BC · sin 60° = (2/√3) · (5/(2√3)) · (√3/2) = 5√3/6.
Объём прямой призмы V = Sh, поэтому h = 5/(5√3/6) = 2√3.
Ответ: б) 2√3.