В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный ( ) треугольник . Точка середина ребра , а точка делит ребро в отношении .
а) Докажите, что .
б) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , и .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Пусть P — середина AB, а H — середина AC. В равнобедренном треугольнике ABC медиана BH является высотой, поэтому BH ⊥ AC.
Из AM:MC = 1:3 следует AM = AC/4 = AH/2. Значит, M — середина AH.
В треугольнике ABH отрезок PM соединяет середины двух сторон, поэтому PM ∥ BH и PM ⊥ AC.
Поскольку призма прямая и K — середина A₁B₁, имеем KP ∥ AA₁ и KP ⊥ (ABC). В частности, KP ⊥ AC.
Таким образом, AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым PM и PK плоскости (KPM), следовательно, AC ⊥ (KPM). Поскольку KM лежит в этой плоскости, AC ⊥ KM.
Ответ: KM ⊥ AC.
б) Вычисление угла.
Имеем AH = 4, AM = 2. По теореме Пифагора BH = √(6² − 4²) = 2√5, поэтому PM = BH/2 = √5.
Треугольник KPM прямоугольный при P, причём KP = AA₁ = 3. Следовательно, KM = √(5 + 9) = √14.
Опустим из M перпендикуляр MQ на AB. Так как BB₁ ⊥ (ABC), прямая MQ также перпендикулярна прямой, проведённой через Q параллельно BB₁.
Эти две пересекающиеся прямые лежат в плоскости (ABB₁), поэтому MQ ⊥ (ABB₁). Точка K принадлежит этой плоскости, следовательно, KQ — ортогональная проекция KM на неё.
В прямоугольном треугольнике ABH получаем sin ∠BAH = BH/AB = √5/3. Поэтому MQ = AM · sin ∠BAH = 2√5/3.
Искомый угол φ равен ∠MKQ. Из прямоугольного треугольника MKQ следует sin φ = MQ/KM = 2√5/(3√14) = √70/21.
Ответ: arcsin(√70/21).