В правильной треугольной призме все рёбра равны, на ребре отмечена точка Известно, что Через точки и провели плоскость перпендикулярно грани
а) Докажите, что плоскость делит ребро пополам.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью равна
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим через N середину A₁B₁. В равностороннем треугольнике A₁B₁C₁ медиана C₁N является высотой, поэтому C₁N ⟂ A₁B₁.
Кроме того, C₁N ⟂ AA₁, поскольку боковые рёбра правильной призмы перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, C₁N перпендикулярна грани ABB₁A₁ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Плоскость, проходящая через M и прямую C₁N, перпендикулярна грани ABB₁A₁. Через прямую MC₁ проходит единственная плоскость, перпендикулярная этой грани, поэтому это плоскость α.
Таким образом, N принадлежит α и A₁N = NB₁. Ответ: плоскость α делит A₁B₁ пополам.
б) Пусть все рёбра призмы равны a. Тогда MA₁ = a/3, A₁N = a/2.
На грани ABB₁A₁ сечение проходит по отрезку MN, на верхнем основании — по NC₁, на грани ACC₁A₁ — по MC₁. Эти отрезки образуют замкнутую границу сечения, поэтому сечение — треугольник MNC₁.
Поскольку C₁N перпендикулярна грани ABB₁A₁, имеем C₁N ⟂ MN. Следовательно, треугольник MNC₁ прямоугольный.
По теореме Пифагора MN = √((a/3)² + (a/2)²) = a√13/6. Высота равностороннего треугольника A₁B₁C₁ равна C₁N = a√3/2.
По условию площадь сечения равна √39, поэтому MN · C₁N/2 = a²√39/24 = √39.
Отсюда a² = 24, a = 2√6. Высота правильной призмы равна её боковому ребру. Ответ: 2√6.