В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6,
а боковое ребро равно Точки и середины рёбер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении считая от точки
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды плоскостью
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть E — середина AB, O — центр основания. В правильной пирамиде SO перпендикулярна плоскости ABC, а O лежит на медиане CE, причём EO = CE/3.
Обозначим через D середину SE. В треугольнике SAB отрезок MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AB; гомотетия с центром S и коэффициентом 1/2 переводит E в D, значит, D принадлежит MN.
Через D проведём прямую, параллельную SO. Она лежит в α: плоскость, перпендикулярная основанию, содержит перпендикуляр к основанию, проведённый через любую её точку.
В треугольнике ESO эта прямая пересекает EO в его середине T по теореме о средней линии. Следовательно, ET = EO/2 = CE/6.
Таким образом, CT = CE − ET = 5CE/6, поэтому CT : TE = 5 : 1.
Ответ: медиана CE делится в отношении 5:1, считая от C.
б) След плоскости α на основании проходит через T параллельно MN и AB. Обозначим его пересечения с AC и BC через K и L соответственно.
Из подобия треугольников CKL и CAB получаем CK/CA = CL/CB = KL/AB = CT/CE = 5/6. Значит, AK = BL = 1, KL = 5.
Проекции S и C на основание — точки O и C — лежат по одну сторону от KL. Поэтому α не пересекает ребро SC. Сечение представляет собой четырёхугольник MNLK.
Как средняя линия треугольника SAB, MN = AB/2 = 3. Симметрия пирамиды относительно плоскости SCE даёт MK = NL.
В равнобедренном треугольнике SAC по теореме косинусов cos ∠SAC = (SA² + AC² − SC²)/(2SA · AC) = AC/(2SA) = √3/4.
В треугольнике AMK имеем AM = SA/2 = 2√3, AK = 1 и ∠MAK = ∠SAC. По теореме косинусов MK² = (2√3)² + 1² − 2 · 2√3 · 1 · √3/4 = 10.
Следовательно, MK = NL = √10, а периметр сечения равен MN + KL + MK + NL = 3 + 5 + 2√10.
Ответ: 8 + 2√10.