Плоскость перпендикулярна плоскости основания правильной четырёхугольной пирамиды и пересекает ребро в точке Сечение пирамиды плоскостью является правильным треугольником площадью а) Докажите, что плоскость перпендикулярна прямой
б) В каком отношении точка делит ребро считая от точки если объём пирамиды равен
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть O — центр квадрата ABCD, а H — ортогональная проекция K на основание. Поскольку SO ⟂ (ABCD), в треугольнике ASO имеем KH ∥ SO и H принадлежит AO.
Плоскость α перпендикулярна основанию, поэтому перпендикуляр KH к основанию лежит в α. Следовательно, H лежит на линии пересечения α с основанием.
Треугольное сечение с вершиной K на ребре SA имеет две другие вершины P и Q на рёбрах AB и AD: при выходе линии сечения через другие стороны основания плоскость пересекла бы дополнительные боковые рёбра и сечение имело бы не менее четырёх вершин.
Так как треугольник KPQ правильный, KP = KQ. В прямоугольных треугольниках KHP и KHQ по теореме Пифагора HP² = KP² − KH² = KQ² − KH² = HQ². Поэтому H — середина PQ.
Диагональ AC является биссектрисой угла PAD. По теореме о биссектрисе в треугольнике APQ получаем AP/AQ = PH/HQ = 1.
Следовательно, треугольник APQ равнобедренный, а его медиана AH является высотой: AC ⟂ PQ. Также AC ⟂ KH, поскольку KH перпендикулярна основанию.
Прямые PQ и KH пересекаются и лежат в α, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC ⟂ α. Ответ: α ⟂ AC.
б) Обозначим сторону правильного треугольника KPQ через l. По формуле его площади l²√3/4 = 4√3, откуда l = 4.
Тогда KH = l√3/2 = 2√3. В прямоугольном равнобедренном треугольнике APQ гипотенуза PQ = 4, поэтому AP = AQ = 2√2, а медиана к гипотенузе AH = PQ/2 = 2.
Пусть AO = r, SO = h. Из подобия треугольников AKH и ASO следует AH/AO = KH/SO, то есть 2/r = 2√3/h. Значит, h = √3r.
Диагональ квадрата AC = 2r, поэтому площадь основания равна AC²/2 = 2r². По формуле объёма пирамиды 18√3 = 2r²h/3 = 2√3r³/3.
Отсюда r³ = 27, r = 3. По тому же подобию AK/AS = AH/AO = 2/3, следовательно, SK/AS = 1/3 и SK/KA = 1/2.
Ответ: SK : KA = 1 : 2.