В основании прямой призмы лежит равнобедренный
треугольник с основанием Точка делит ребро
в отношении а точка середина ребра
Через середину ребра провели плоскость перпендикулярную отрезку
а) Докажите, что плоскость делит ребро пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро считая от точки если известно, что
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат: A(−a; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; h; 0), где a, h > 0. Ось Oz направим вдоль боковых рёбер призмы; её высоту обозначим H.
Тогда A₁(−a; 0; H), C₁(0; h; H). По условиям деления отрезков P(−a/2; 0; 0), Q(−a/2; h/2; H), M(a/2; h/2; 0).
Пусть N — середина AC. Тогда N(−a/2; h/2; 0). Векторы MN = (−a; 0; 0) и PQ = (0; h/2; H) имеют нулевое скалярное произведение, поэтому MN ⟂ PQ.
Плоскость α проходит через M и перпендикулярна PQ. Следовательно, прямая MN, проходящая через M перпендикулярно PQ, лежит в α. Значит, N принадлежит α.
При этом AC не параллельна α: скалярное произведение AC = (a; h; 0) и PQ равно h²/2 ≠ 0. Поэтому N — единственная точка пересечения AC с α.
Ответ: плоскость α делит AC пополам.
б) Из AB = 2a, BC = 5a и AA₁ = AB получаем H = 2a. По теореме Пифагора в основании h² = BC² − a² = 24a².
Обозначим точку пересечения α с A₁C₁ через R и положим A₁R/A₁C₁ = t. Тогда R(−a + at; ht; H).
Условие принадлежности R плоскости α имеет вид MR · PQ = 0, поскольку PQ — нормаль к α.
Следовательно, (h/2)(ht − h/2) + H² = 0, откуда t = 1/2 − 2H²/h².
Подставляя H² = 4a² и h² = 24a², находим t = 1/2 − 8/24 = 1/6. Поскольку 0 < t < 1, точка R лежит внутри ребра.
Поэтому A₁R : RC₁ = t : (1 − t) = 1 : 5.
Ответ: 1:5.