В основании пирамиды лежит прямоугольник со стороной и диагональю . Все боковые рёбра пирамиды равны 5.
На диагонали основания отмечена точка , а на ребре точка так, что .
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру .
б) Плоскость пересекает ребро в точке . Найдите расстояние от точки до плоскости .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Пусть прямая CE пересекает AB в точке T. Поскольку AB ∥ CD, треугольники BET и DEC подобны по двум углам: углы при E вертикальные, а углы EBT и EDC равны как накрест лежащие.
Имеем DE = BD − BE = 9 − 4 = 5. По подобию BT/CD = BE/DE = 4/5. Так как CD = AB = 5, получаем BT = 4.
Точка T лежит на отрезке AB, поэтому AT = AB − BT = 1. Кроме того, AF = AS − SF = 5 − 4 = 1.
В треугольнике ASB выполняется AF/AS = AT/AB = 1/5. По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, FT ∥ SB.
Прямая FT лежит в плоскости CEF. При этом B не принадлежит этой плоскости: её пересечение с плоскостью основания — прямая CE, а B не лежит на CE. По признаку параллельности прямой и плоскости SB ∥ (CEF).
Ответ: а) плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Нахождение расстояния.
В плоскости SBD проведём через E прямую, параллельную SB, до пересечения с SD в точке Q. Эта прямая лежит и в плоскости CEF, поскольку проходит через её точку E параллельно прямой FT этой плоскости. Следовательно, построенная точка Q — искомая.
Треугольники DEQ и DBS подобны по двум углам, поэтому DQ/DS = DE/DB = 5/9.
Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Докажем, что SO — высота пирамиды. Из SA = SC следует, что медиана SO равнобедренного треугольника SAC перпендикулярна AC. Аналогично из SB = SD получаем SO ⟂ BD. Значит, SO перпендикулярна плоскости основания по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OD = BD/2 = 9/2. По теореме Пифагора в треугольнике SOD: SO = √(SD² − OD²) = √(25 − 81/4) = √19/2.
Опустим из Q перпендикуляр QH на плоскость основания. Поскольку QH ∥ SO, точки D, H, O лежат на одной прямой, а прямоугольные треугольники DQH и DSO подобны. Поэтому QH/SO = DQ/DS = 5/9.
Искомое расстояние равно QH = (5/9) · (√19/2) = 5√19/18.
Ответ: б) 5√19/18.