В школах 1 и 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе 2 средний балл равнялся 42.
Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы 1 в школу 2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе 2 также уменьшился на 10%.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе 2 изначально?
б) Каждый учащийся школы 2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы 1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы 2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе 1 изначально?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть в школе №2 первоначально было m участников, а перешедший учащийся набрал s баллов. После перехода средний балл равен 42 · 0,9 = 37,8, поэтому 42m + s = 37,8(m + 1).
Отсюда 5s = 189 − 21m. Так как s — натуральное число, получаем m < 9. Кроме того, правая часть делится на 5, поэтому m при делении на 5 даёт остаток 4. С учётом m ≥ 2 единственная возможность — m = 4, тогда s = 21.
Покажем, что переход возможен. В школе №1 могли быть пять участников с баллами 21, 12, 14, 14, 14. Их средний балл равен 15, а после ухода учащегося с 21 баллом — 13,5, то есть на 10% меньше. В школе №2 могли быть четыре участника с баллами по 42; после перехода средний балл равен 189/5 = 37,8.
Ответ: 4.
б) По пункту а) сумма баллов четырёх первоначальных участников школы №2 равна 4 · 42 = 168, а перешедший учащийся набрал 21 балл.
Каждый из четырёх участников набрал натуральное число баллов больше 21, то есть не меньше 22. Поэтому любой из них набрал не более 168 − 3 · 22 = 102 баллов.
Эта оценка достигается при баллах 22, 22, 22, 102. Их сумма равна 168, все они больше 21. Для школы №1 подходит пример из пункта а).
Ответ: 102.
в) Пусть в школе №1 первоначально было n участников, а их целый средний балл равнялся A. После ухода учащегося с 21 баллом получаем (nA − 21)/(n − 1) = 0,9A.
Умножая равенство на 10(n − 1), получаем 10nA − 210 = 9nA − 9A, то есть A(n + 9) = 210.
После перехода в школе №1 остаётся хотя бы один участник, и каждый оставшийся набрал не меньше 1 балла. Значит, 0,9A ≥ 1. Поскольку A — целое число, A ≥ 2. Следовательно, n + 9 = 210/A ≤ 105, откуда n ≤ 96.
Для достижения оценки возьмём в школе №1 учащегося с 21 баллом, 94 учащихся с 1 баллом и одного с 77 баллами. Всего 96 участников, сумма баллов 192, средний балл 2. После ухода учащегося с 21 баллом среднее равно 171/95 = 1,8, то есть уменьшается на 10%. В школе №2 можно взять четыре результата по 42 балла, как в пункте а).
Ответ: 96.