На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно 50 синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Возьмём одну синюю карточку с числом 3 и три красные карточки с числами −2, 0, 2.
Все числа больше −36, требования делимости и различности выполнены. Максимальное красное число 2 равно удвоенному количеству синих карточек, а максимальное синее число 3 равно количеству красных карточек.
Ответ: да.
б) Обозначим количество синих карточек через n, красных — через m. Максимальное синее число равно m, поэтому m — положительное число, кратное 3.
Все синие числа находятся среди чисел −33, −30, …, 0, 3, …, m. Неположительных чисел в этом списке 12, положительных — m/3. Следовательно, n ≤ 12 + m/3, откуда m ≥ 3n − 36.
Все красные числа находятся среди чисел −34, −32, …, 0, 2, …, 2n. Здесь 18 неположительных и n положительных чисел. Значит, m ≤ n + 18.
При n = 50 первое неравенство даёт m ≥ 114, а второе — m ≤ 68. Эти условия несовместимы.
Ответ: нет.
в) Объединяя полученные оценки, имеем 3n − 36 ≤ m ≤ n + 18. Следовательно, 2n ≤ 54, то есть n ≤ 27.
Покажем, что 27 синих карточек возможны. На синих карточках запишем все кратные 3 числа от −33 до 45 включительно. Их (45 + 33)/3 + 1 = 27.
На красных карточках запишем все чётные числа от −34 до 54 включительно. Их (54 + 34)/2 + 1 = 45.
Все числа больше −36 и различны внутри каждого цвета. Максимальное красное число 54 = 2 · 27, максимальное синее число 45 равно количеству красных карточек. Все условия выполнены, поэтому верхняя оценка достигается.
Ответ: 27.