В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80 % от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Рассмотрим 8 контейнеров, из которых 6 содержат сахар: 6/8 = 75 %.
Пусть среди контейнеров с сахаром четыре весят по 20 т, а два — по 60 т. Их общая масса равна 4 · 20 + 2 · 60 = 200 т.
Пусть два остальных контейнера весят по 20 т. Тогда общая масса всех контейнеров равна 240 т, что не даёт требуемой доли. Для нужного примера возьмём 4 контейнера: три с сахаром массами 60, 20, 20 т и один без сахара массой 20 т. Увеличим число контейнеров до 12: девять с сахаром, из которых три по 60 т и шесть по 20 т, и три без сахара, из которых один по 60 т и два по 20 т.
Масса сахара в контейнерах составляет 300 т из 400 т, поэтому построим точный пример иначе: возьмём 12 контейнеров, девять с сахаром — пять по 60 т и четыре по 20 т, а три без сахара — все по 20 т. Получаем 380/440, что также не подходит.
Точный пример: 16 контейнеров, из них 12 с сахаром — шесть по 60 т и шесть по 20 т; остальные четыре — два по 60 т и два по 20 т. Чтобы получить 80 %, достаточно взять среди 12 контейнеров с сахаром десять по 20 т и два по 60 т, а среди четырёх остальных все по 20 т.
Тогда масса контейнеров с сахаром равна 320 т, общая масса равна 400 т; 320/400 · 100 % = 80 %. Доля контейнеров с сахаром: 12/16 = 75 %. Ответ: да.
б) Обозначим количество контейнеров без сахара через n. Тогда контейнеров с сахаром 3n, причём n > 0.
Пусть S — масса контейнеров с сахаром, T — масса остальных. Поскольку каждый контейнер весит от 20 до 60 т, имеем S ≥ 60n и T ≤ 60n. Следовательно, S ≥ T.
Поэтому S/(S + T) ≥ 1/2 = 50 %, и доля 40 % невозможна. Ответ: нет.
в) При тех же обозначениях S ≤ 180n, а T ≥ 20n. Поэтому T/S ≥ 1/9 и S/(S + T) = 1/(1 + T/S) ≤ 9/10.
Оценка достигается, если все 3n контейнеров с сахаром весят по 60 т, а остальные n — по 20 т: 180n/(180n + 20n) = 90 %. Ответ: 90 %.