На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Возьмём числа 6, 7, 8, 9, 10.
Наименьшее произведение двух различных чисел равно 6 · 7 = 42 > 40, а наибольшее равно 9 · 10 = 90 < 100. Значит, все произведения удовлетворяют условию.
Ответ: да.
б) Предположим, что записаны шесть чисел a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ < a₆. Если a₂ ≤ 6, то a₁ ≤ 5 и a₁a₂ ≤ 30, что противоречит условию. Поэтому a₂ ≥ 7.
Числа различные и натуральные, поэтому a₅ ≥ a₂ + 3 ≥ 10, a₆ ≥ 11. Тогда a₅a₆ ≥ 110, хотя по условию это произведение меньше 100. Получили противоречие.
Ответ: нет.
в) Пусть записаны четыре числа a < b < c < d. Как доказано выше, b ≥ 7, поэтому c ≥ 8. Если c ≥ 10, то d ≥ 11 и cd ≥ 110. Следовательно, c равно 8 или 9.
Если c = 8, то a ≤ 6, b ≤ 7. Из 8d < 100 получаем d ≤ 12. Поэтому a + b + c + d ≤ 6 + 7 + 8 + 12 = 33.
Если c = 9, то a ≤ 7, b ≤ 8. Из 9d < 100 получаем d ≤ 11. Поэтому a + b + c + d ≤ 7 + 8 + 9 + 11 = 35.
Оценка 35 достигается на числах 7, 8, 9, 11: наименьшее произведение равно 56 > 40, наибольшее — 99 < 100, сумма равна 35.
Ответ: 35.