Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число
в ней хотя бы на 5 больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, 40, 45, 50 — удачная тройка.
а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа 50, 60 и ещё одно число, большее 60?
б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно 15?
в) Какое наибольшее количество чисел от 1 до 100 включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Для трёх чисел x < y < z достаточно проверить условие для наименьшего: 3x ≥ y + z + 15. Действительно, тогда 3y ≥ x + z + 15 и 3z ≥ x + y + 15, поскольку левые части увеличиваются, а правые уменьшаются.
а) Для тройки 50, 60, z, где z > 60, получаем 150 ≥ 60 + z + 15, то есть z ≤ 75.
Подходят все целые z от 61 до 75 включительно. Их количество: 75 − 61 + 1 = 15. Ответ: 15.
б) Пусть наименьшее число удачной тройки равно x. Два остальных различных натуральных числа не меньше x + 1 и x + 2.
Тогда 3x ≥ (x + 1) + (x + 2) + 15, откуда x ≥ 18. Следовательно, число 15 не может входить в удачную тройку. Ответ: нет.
в) Сначала докажем, что расставить 81 число или больше невозможно. Предположим противное и обозначим наименьшее выбранное число через m. Тогда m ≤ 20, иначе доступны лишь 80 чисел от 21 до 100.
Пять последовательных чисел около m обозначим a, b, m, c, d. Они различны, и каждое из a, b, c, d больше m.
Из удачности троек a, b, m и m, c, d следует a + b ≤ 3m − 15 и c + d ≤ 3m − 15.
С другой стороны, четыре различных числа, больших m, имеют сумму не меньше (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) + (m + 4) = 4m + 10.
Таким образом, 4m + 10 ≤ 6m − 30, откуда m ≥ 20. Значит, m = 20.
При m = 20 обе оценки суммы равны 90. Поэтому a, b, c, d — числа 21, 22, 23, 24, причём a + b = c + d = 45.
Следовательно, одна из соседних пар a, b или c, d состоит из чисел 21 и 24. С внешней стороны этой пары стоит ещё одно число e, отличное от всех пяти названных.
Так как m = 20 — наименьшее число, e > 20. Удачность тройки, содержащей 21, 24 и e, требует 3 · 21 ≥ 24 + e + 15, откуда e ≤ 24.
Но все числа от 21 до 24 уже заняты. Получено противоречие, поэтому количество чисел не превосходит 80.
Построим расстановку всех 80 чисел от 21 до 100: 21, 23, 25, …, 97, 99, 100, 98, 96, …, 24, 22, после чего круг замыкается.
Внутри возрастающего и убывающего участков каждая тройка после упорядочивания имеет вид x, x + 2, x + 4, где x ≥ 21. Условие выполняется: 3x ≥ 2x + 6 + 15 равносильно x ≥ 21.
На верхнем повороте остаются тройки 97, 99, 100 и 99, 100, 98: 3 · 97 ≥ 99 + 100 + 15 и 3 · 98 ≥ 99 + 100 + 15.
На нижнем повороте остаются тройки 24, 22, 21 и 22, 21, 23: 3 · 21 = 24 + 22 + 15 и 3 · 21 ≥ 22 + 23 + 15.
Все тройки удачны, оценка достигается. Ответ: 80.