На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Подойдут числа 5, 6, 7, 8, 10. Наименьшее произведение двух различных чисел равно 5 · 6 = 30, а наибольшее — 8 · 10 = 80.
Следовательно, произведение любых двух чисел больше 25 и меньше 85.
Ответ: да.
б) Предположим, что записаны шесть чисел a < b < c < d < e < f.
Если a ≤ 4, то из ab > 25 следует b ≥ 7. Поскольку числа различные и натуральные, e ≥ b + 3 ≥ 10, f ≥ b + 4 ≥ 11. Тогда ef ≥ 110, что противоречит условию.
Если a ≥ 5, то e ≥ a + 4 ≥ 9, f ≥ a + 5 ≥ 10. Тогда ef ≥ 90 — снова противоречие.
Все возможные значения a рассмотрены, поэтому шесть чисел записать нельзя.
Ответ: нет.
в) Пусть записаны четыре числа a < b < c < d. Достаточно учитывать условия ab > 25 и cd < 85: это наименьшее и наибольшее произведения пар.
Если c ≤ 6, то a ≤ 4 и b ≤ 5, откуда ab ≤ 20, что невозможно. Поэтому c ≥ 7.
Если c ≥ 9, то d ≥ 10 и cd ≥ 90, что также невозможно. Значит, c равно 7 или 8.
При c = 7 имеем a ≤ 5, b ≤ 6 и d ≤ 12, поскольку 7d < 85. Следовательно, a + b + c + d ≤ 5 + 6 + 7 + 12 = 30.
При c = 8 имеем a ≤ 6, b ≤ 7 и d ≤ 10, поскольку 8d < 85. Поэтому a + b + c + d ≤ 6 + 7 + 8 + 10 = 31.
Оценка 31 достигается на числах 6, 7, 8, 10: наименьшее произведение равно 42 > 25, наибольшее — 80 < 85, а сумма равна 31.
Ответ: 31.