Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и преобразование знаменателя.
Для существования логарифмов необходимо: 2 − x > 0, x + 1 > 0 и x² > 0. Следовательно, −1 < x < 2, x ≠ 0.
Обозначим t = log₂(x²). При x ≠ 0 имеем log₂(x⁴) = 2log₂(x²) = 2t.
Знаменатель равен t² + 2t + 1 = (t + 1)².
Он обращается в нуль при t = −1, то есть x² = 1/2, откуда x = ±√2/2.
Таким образом, ОДЗ: x ∈ (−1; 2), x ≠ 0, x ≠ ±√2/2.
Ответ: на ОДЗ знаменатель строго положителен.
б) Решение неравенства.
Умножение на положительный знаменатель даёт равносильное неравенство log₂(2 − x) − log₂(x + 1) ≥ 0.
По свойству логарифмов получаем log₂((2 − x)/(x + 1)) ≥ 0.
Так как основание 2 > 1, на ОДЗ это равносильно (2 − x)/(x + 1) ≥ 1.
Перенесём единицу влево: (1 − 2x)/(x + 1) ≥ 0.
Критические точки для метода интервалов: −1 и 1/2. Знаки дроби на промежутках (−∞; −1), (−1; 1/2), (1/2; +∞) соответственно: −, +, −.
Поэтому рациональное неравенство имеет решение (−1; 1/2].
Пересекаем его с ОДЗ: исключаем −√2/2 и 0; точка √2/2 > 1/2 в найденный промежуток не входит.
Точка −1 исключена, а точка 1/2 включена: в ней числитель исходной дроби равен нулю, знаменатель не равен нулю.
Ответ: (−1; −√2/2) ∪ (−√2/2; 0) ∪ (0; 1/2].