Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменной и ОДЗ. Положим t = 8^x, тогда t > 0, 2·8^(x − 1) = t/4, 64^x = t².
Знаменатели исходного неравенства не равны нулю: t/4 − 1 ≠ 0, t − 1 ≠ 0, t² − 5t + 4 ≠ 0.
Поскольку t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4), ОДЗ: t > 0, t ≠ 1, t ≠ 4. Для исходной переменной: x ≠ 0, x ≠ 2/3.
б) Равносильные преобразования. На ОДЗ исходное неравенство принимает вид t/(t − 4) ≥ 3/(t − 1) + 8/((t − 1)(t − 4)).
Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю: [t(t − 1) − 3(t − 4) − 8]/((t − 1)(t − 4)) ≥ 0.
После упрощения получаем равносильное неравенство (t − 2)²/((t − 1)(t − 4)) ≥ 0.
в) Метод интервалов. При t > 0 критические точки: 1, 2, 4. Точки 1 и 4 исключены по ОДЗ, а в точке 2 дробь равна нулю.
На интервалах (0; 1), (1; 2), (2; 4), (4; +∞) знаки дроби соответственно +, −, −, +: числитель вне точки 2 положителен, а знак знаменателя определяется множителями t − 1 и t − 4.
Следовательно, t ∈ (0; 1) ∪ {2} ∪ (4; +∞). Точка 2 включается, поскольку неравенство нестрогое; точки 1 и 4 не включаются.
Возвращаемся к x. Функция 8^x возрастает, поэтому 0 < 8^x < 1 равносильно x < 0; 8^x = 2 равносильно x = 1/3; 8^x > 4 равносильно x > 2/3.
Ответ: (−∞; 0) ∪ {1/3} ∪ (2/3; +∞).