На рёбрах и тетраэдра отмечены точки
и соответственно, причём Четырёхугольник квадрат со стороной 2.
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины до плоскости если объём тетраэдра равен 25.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Поскольку KLMN — квадрат, KL ∥ MN и KN ∥ LM, причём KL ⟂ KN.
Плоскости ACD и BCD пересекаются по прямой CD и содержат соответственно параллельные прямые KL и MN. Поэтому CD ∥ KL ∥ MN: иначе точка пересечения CD с KL принадлежала бы также MN, что невозможно.
Аналогично плоскости ABC и ABD пересекаются по AB и содержат параллельные прямые KN и LM. Следовательно, AB ∥ KN ∥ LM.
Из KL ⟂ KN, CD ∥ KL и AB ∥ KN получаем AB ⟂ CD.
Ответ: а) AB ⟂ CD.
б) Вычисление расстояния.
Из AK : KC = 2 : 3 следует AK/AC = 2/5. В треугольнике ACD прямая KL параллельна CD, поэтому по подобию AL/AD = 2/5.
Следовательно, площади треугольников AKL и ACD относятся как (2/5)² = 4/25. Тетраэдры BAKL и BACD имеют общую высоту из B к плоскости ACD, поэтому V(BAKL) = (4/25) · 25 = 4.
В треугольнике CAB прямая KN параллельна AB. По подобию CN/CB = CK/CA = 3/5.
Тетраэдры NAKL и BAKL имеют общее основание AKL. Поскольку C лежит в плоскости AKL, а N принадлежит CB, их высоты относятся как CN/CB = 3/5. Значит, V(NAKL) = (3/5) · 4 = 12/5.
Треугольник KLN составляет половину квадрата со стороной 2, поэтому S(KLN) = 2. Обозначим расстояние от A до плоскости KLM через h. Тогда V(AKLN) = S(KLN) · h/3, откуда h = 3 · (12/5)/2 = 18/5.
Так как AB ∥ KN, прямая AB параллельна плоскости KLM. Все её точки равноудалены от этой плоскости, поэтому искомое расстояние от B также равно 18/5.
Ответ: б) 3,6.