В правильной шестиугольной пирамиде точки и середины боковых рёбер и соответственно.
а) Докажите, что прямые и лежат в одной плоскости.
б) Найдите высоту пирамиды, если а угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды равен
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) В треугольнике SAD точки M и K — середины сторон SA и SD. По теореме о средней линии MK ∥ AD.
В правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ AD параллельна стороне BC. Следовательно, MK ∥ BC.
Через две различные параллельные прямые проходит плоскость. Плоскость, содержащая MK и BC, содержит все четыре точки M, K, B, C, а значит, и прямые BM и CK.
Ответ: а) прямые BM и CK лежат в одной плоскости.
б) Пусть O — центр основания, SO = h — высота пирамиды, P — середина AO. В треугольнике ASO отрезок MP является средней линией, поэтому MP ∥ SO и MP = h/2. Следовательно, MP перпендикулярен плоскости основания, то есть P — проекция M на основание.
В правильном шестиугольнике OA = OB = AB = 8, поэтому треугольник AOB равносторонний. Его медиана BP перпендикулярна AO, причём BP = √(8² − 4²) = 4√3.
Так как AO ∥ BC, получаем BP ⟂ BC. По теореме о трёх перпендикулярах BM ⟂ BC.
Плоскости BMC и основания пересекаются по BC. Поэтому угол MBP — линейный угол двугранного угла между этими плоскостями, равный 45°.
В прямоугольном треугольнике BPM имеем MP/BP = tg 45° = 1. Значит, h/2 = 4√3, откуда h = 8√3.
Ответ: б) 8√3.