Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник , причём , . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин и опущены перпендикуляры и на ребро .
а) Докажите, что середина отрезка .
б) Найдите угол между гранями и , если .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим центр основания через O, а длину SB через l. Поскольку SO перпендикулярна основанию и OA = OB = OC = OD, прямоугольные треугольники SOA, SOB, SOC, SOD равны по двум катетам. Поэтому SA = SB = SC = SD = l.
По теореме косинусов в равнобедренном треугольнике ABS: cos ∠ABS = AB/(2l). Следовательно, проекция AB на BS равна BP = AB · cos ∠ABS = AB²/(2l) = 4/l.
Аналогично в треугольнике CBS получаем BQ = BC²/(2l) = 8/l. Обе проекции направлены от B к S, поэтому BP = PQ = BQ/2.
Ответ к пункту а): P — середина BQ.
б) При SD = 4 все боковые рёбра равны 4, поэтому BP = 1, BQ = 2. По теореме Пифагора AP² = AB² − BP² = 8 − 1 = 7, CQ² = BC² − BQ² = 16 − 4 = 12.
В треугольнике BQC через середину P стороны BQ проведём прямую, параллельную QC. Она пересекает BC в его середине R, причём PR = CQ/2 = √3 по теореме о средней линии треугольника.
Так как AP перпендикулярна SB, а PR параллельна CQ и также перпендикулярна SB, угол APR — линейный угол двугранного угла между указанными гранями. Лучи PA и PR направлены внутрь соответствующих граней.
В прямоугольном треугольнике ABR имеем BR = 2 и AR² = AB² + BR² = 8 + 4 = 12.
По теореме косинусов в треугольнике APR: cos ∠APR = (AP² + PR² − AR²)/(2 · AP · PR) = (7 + 3 − 12)/(2√21) = −√21/21.
Ответ к пункту б): π − arccos(√21/21).