В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём и . Точка середина ребра .
а) Докажите, что плоскость проходит через точку .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) По условию AE = 16·3/8 = 6, BF = 16·11/16 = 11. Поэтому A₁E = 10, B₁F = 5.
Продолжим EF до пересечения с прямой A₁B₁ в точке K. Из подобия прямоугольных треугольников KA₁E и KB₁F следует KA₁/KB₁ = A₁E/B₁F = 2. Следовательно, K лежит за B₁, KB₁ = A₁B₁ = 6√2, KA₁ = 12√2.
В треугольнике KA₁D₁ точка B₁ — середина KA₁. Прямая B₁T параллельна A₁D₁, причём B₁T = 5 = A₁D₁/2. По теореме о средней линии T — середина KD₁.
Точки K и T принадлежат плоскости EFT, поэтому прямая KT лежит в этой плоскости. Поскольку D₁ лежит на KT, плоскость EFT проходит через D₁.
Ответ к а): утверждение доказано.
б) Из того же подобия KF/KE = 1/2, поэтому F — середина KE. В треугольнике KED₁ отрезок FT соединяет середины двух сторон, следовательно, FT ∥ ED₁.
На передней, правой, верхней и левой гранях плоскость пересекает параллелепипед соответственно по EF, FT, TD₁ и D₁E. Поэтому сечение — трапеция EFTD₁, полученная из треугольника KED₁ удалением треугольника KFT.
По теореме Пифагора KE² = KA₁² + A₁E² = (12√2)² + 10² = 388; KD₁² = KA₁² + A₁D₁² = 388. Значит, треугольник KED₁ равнобедренный.
В прямоугольном треугольнике EA₁D₁ получаем ED₁ = √(10² + 10²) = 10√2. Высота равнобедренного треугольника KED₁ к основанию ED₁ равна √(388 − (5√2)²) = 13√2.
Следовательно, S(KED₁) = (10√2)·(13√2)/2 = 130. По подобию S(KFT)/S(KED₁) = (1/2)² = 1/4, поэтому площадь сечения равна 130·3/4 = 97,5.
Ответ к б): 97,5.