В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки , и ,
а на окружности другого основания точка , причём образующая цилиндра, а диаметр основания. Известно, что , , .
а) Докажите, что угол между прямыми и равен .
б) Найдите расстояние от точки до прямой .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Так как AC — диаметр окружности, то ∠ABC = 90° по теореме об угле, опирающемся на диаметр.
При этом ∠ACB = 45°, поэтому треугольник ABC равнобедренный: BC = AB = 2√3, AC = AB√2 = 2√6.
Образующая CC₁ перпендикулярна плоскости основания. По теореме Пифагора AC₁ = √(AC² + CC₁²) = √(24 + 24) = 4√3.
Используем скалярное произведение векторов. Имеем вектор AC₁ = вектор AB + вектор BC + вектор CC₁.
Поскольку AB ⟂ BC и CC₁ ⟂ BC, получаем: вектор AC₁ · вектор BC = BC² = 12.
Следовательно, косинус угла между векторами AC₁ и BC равен 12/(4√3 · 2√3) = 1/2. Этот угол острый, поэтому он является углом между соответствующими прямыми.
Ответ: угол между AC₁ и BC равен 60°.
б) Через B проведём прямую, параллельную CC₁. Она лежит в плоскости BCC₁ и перпендикулярна AB, поскольку AB лежит в плоскости основания.
Также AB ⟂ BC. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB ⟂ (BCC₁), следовательно, AB ⟂ BC₁.
В прямоугольном треугольнике BCC₁ имеем BC₁ = √(BC² + CC₁²) = √(12 + 24) = 6.
Пусть BH — перпендикуляр к AC₁. Выражая площадь прямоугольного треугольника ABC₁ двумя способами, получаем AB · BC₁/2 = AC₁ · BH/2.
Отсюда расстояние от B до AC₁ равно BH = (2√3 · 6)/(4√3) = 3.
Ответ: 3.