В кубе точки и середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Плоскость проходит через точки и параллельно прямой Найдите расстояние от точки до плоскости если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Введём прямоугольные координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A₁(0; 0; a), где a > 0 — ребро куба. Тогда C(a; a; 0), B₁(a; 0; a), M(a/2; 0; 0), N(0; a/2; 0).
Направляющие векторы прямых B₁N и CM: u = (−a; a/2; −a) и v = (−a/2; −a; 0).
Их скалярное произведение u · v = a²/2 − a²/2 + 0 = 0. По признаку перпендикулярности векторов прямые B₁N и CM перпендикулярны.
Ответ: а) B₁N ⟂ CM.
б) Вычисление расстояния.
По формуле расстояния между точками B₁N² = a² + a²/4 + a² = 9a²/4. Поскольку B₁N = 6, получаем 3a/2 = 6, откуда a = 4.
Таким образом, N(0; 2; 0), B₁(4; 0; 4), C(4; 4; 0). Плоскость α содержит направление NB₁ с вектором (4; −2; 4) и направление CM с вектором (−2; −4; 0).
Вектор n = (2; −1; −5/2) перпендикулярен обоим направлениям: 2 · 4 + (−1) · (−2) − (5/2) · 4 = 0 и 2 · (−2) + (−1) · (−4) = 0. Следовательно, n — нормальный вектор плоскости α.
Проведём через C прямую, перпендикулярную α. Её точка H имеет координаты (4 + 2t; 4 − t; −5t/2).
Условие принадлежности H плоскости через N с нормалью n имеет вид n · NH = 0. Подставляя координаты, получаем 2(4 + 2t) − (2 − t) + 25t/4 = 0, то есть 6 + 45t/4 = 0. Отсюда t = −8/15.
Точка H — основание перпендикуляра из C на α. Поэтому искомое расстояние CH = |t| · √(2² + (−1)² + (−5/2)²) = (8/15) · (3√5/2) = 4√5/5.
Ответ: б) 4√5/5.