Окружность с центром касается оснований и и боковой стороны трапеции . Окружность с центром касается сторон , и . Известно, что , , , .
а) Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции .
б) Найдите .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть h — высота трапеции. Каждая окружность касается обоих параллельных оснований, поэтому её центр находится между ними на расстоянии h/2 от каждого основания.
Следовательно, оба центра лежат на прямой, проходящей посередине между основаниями и параллельной им. Ниже будет получено O₁O₂ = 4, поэтому центры различны и определяют эту прямую.
Ответ к пункту а): O₁O₂ ∥ AD ∥ BC.
б) Обозначим середины сторон AB и CD через M и N. По теореме о средней линии трапеции MN ∥ AD и MN = (AD + BC)/2 = (39 + 9)/2 = 24.
Точки O₁ и O₂ лежат на прямой MN, поскольку находятся на равных расстояниях от оснований.
Центр окружности, касающейся сторон угла, лежит на его биссектрисе. Поэтому AO₁ и BO₁ — биссектрисы внутренних углов A и B.
Так как AD ∥ BC, сумма углов A и B равна 180°. В треугольнике AO₁B сумма углов при A и B равна 90°, значит, угол AO₁B прямой.
Точка M — середина гипотенузы AB этого прямоугольного треугольника. По свойству медианы к гипотенузе MO₁ = AB/2 = 5.
Аналогично CO₂ и DO₂ — биссектрисы углов C и D, сумма которых равна 180°. Поэтому угол CO₂D прямой и NO₂ = CD/2 = 15.
Центры находятся с внутренних сторон боковых сторон трапеции: O₁ лежит на луче MN, а O₂ — на луче NM.
Поскольку MO₁ + NO₂ = 5 + 15 = 20 < 24 = MN, точки расположены в порядке M, O₁, O₂, N.
Следовательно, O₁O₂ = MN − MO₁ − NO₂ = 24 − 5 − 15 = 4.
Ответ к пункту б): 4.