В равнобедренном остроугольном треугольнике проведены
высоты и к боковым сторонам и Отрезки и перпендикуляры к прямым и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите длину отрезка если и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольные координаты: A(0; 0), B(l; 0), C(u; v), где l = AB = BC, v > 0. Так как треугольник остроугольный, 0 < u < l.
Из BC² = AB² получаем (u − l)² + v² = l², поэтому u² + v² = 2lu.
Поскольку CT ⟂ AB, прямая CT задаётся уравнением x = u.
Найдём H. Проекция BA на BC равна BH = l·(l − u)/l = l − u. Поэтому BH/BC = (l − u)/l и H имеет координаты (v²/l; (l − u)v/l).
Обозначим h = v²/l. Тогда H(h; (l − u)v/l), а M(h; 0), поскольку HM ⟂ AB.
Пусть K = (λu; λv), поскольку K лежит на AC. Условие HK ⟂ AC даёт (H − K)·(u; v) = 0, откуда λ = (hu + (l − u)v²/l)/(u² + v²) = v²/(2lu).
Следовательно, K(h/2; hv/(2u)), а уравнение прямой MK имеет вид y = (v/u)(h − x).
В точке E пересечения MK и CT имеем x = u, поэтому y = (v/u)(v²/l − u) = (l − u)v/l. Здесь использовано равенство v² = 2lu − u².
Таким образом, ординаты E и H равны. Эти точки различны: h − u = u(l − u)/l > 0. Значит, EH ∥ AB.
Ответ к пункту а): EH ∥ AB, что и требовалось доказать.
б) По формуле расстояния между точками M(h; 0) и E(u; (l − u)v/l) получаем ME = √((h − u)² + ((l − u)v/l)²).
Так как h − u = u(l − u)/l, то ME = ((l − u)/l)√(u² + v²) = ((l − u)/l)·AC.
Из AC² = 2lu при l = 13 и AC = 10 находим u = 100/26 = 50/13.
Следовательно, ME = ((13 − 50/13)/13)·10 = 1190/169.
Ответ к пункту б): 1190/169.