Окружность проходит через вершины , и параллелограмма , пересекает сторону в точках и и пересекает продолжение
стороны за точку в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение , если .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольные координаты: A(0; 0), B(p; 0), D(d; h), где p > 0, h > 0. Тогда C(p + d; h). Обозначим q = AD, так что q² = d² + h².
Уравнение окружности, проходящей через A и B, имеет вид x² + y² − px + βy = 0. Подставляя координаты D, получаем βh = pd − q².
На прямой CD ордината равна h, поэтому абсциссы точек пересечения с окружностью удовлетворяют уравнению x² − px + h² + βh = 0.
Один корень равен d и соответствует D. По теореме Виета второй корень равен p − d, следовательно, K(p − d; h).
Так как E лежит на BC, запишем E(p + td; th), где 0 < t < 1.
Подстановка в уравнение окружности даёт t²q² + t(2pd − q²) = 0. Корень t = 0 соответствует B; для E получаем tq² = q² − 2pd.
По формуле расстояния AE² = (p + td)² + t²h² = p² + 2ptd + t²q².
Из tq² + 2pd = q² следует t²q² + 2ptd = tq². Поэтому AE² = p² + tq² = p² + q² − 2pd.
С другой стороны, AK² = (p − d)² + h² = p² + q² − 2pd. Значит, AE² = AK², а потому AE = AK.
Ответ к пункту а): AE = AK, что и требовалось доказать.
б) Если ∠BAD = 60°, то d = q cos 60° = q/2, h = q sin 60° = √3q/2.
По найденной формуле t = 1 − 2pd/q² = 1 − p/q. Следовательно, E((p + q)/2; √3(q − p)/2), K(p − q/2; √3q/2).
По формуле расстояния KE² = ((2q − p)/2)² + (√3p/2)² = p² − pq + q².
В треугольнике BAD по теореме косинусов BD² = p² + q² − 2pq cos 60° = p² − pq + q².
Таким образом, KE = BD, поэтому KE : BD = 1.
Ответ к пункту б): 1.