В равнобедренной трапеции основание в два раза больше основания .
а) Докажите, что высота трапеции разбивает основание на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть точка пересечения диагоналей трапеции . Найдите расстояние от вершины до середины отрезка , если и .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Опустим также высоту BK на основание AD. Четырёхугольник BKHC — прямоугольник, поэтому KH = BC и BK = CH.
Прямоугольные треугольники ABK и DCH равны по гипотенузе и катету: AB = CD, BK = CH. Следовательно, AK = HD.
Пусть BC = a, тогда AD = 2a. Из равенства AK + KH + HD = AD получаем AK = HD = (2a − a)/2 = a/2.
Поэтому AH = AD − HD = 3a/2 = 3HD.
Ответ: а) AH = 3HD.
б) Вычисление.
При BC = 16 имеем AD = 32 и AK = HD = 8. По теореме Пифагора BK = √(AB² − AK²) = √(100 − 64) = 6.
Введём прямоугольную систему координат: A(0; 0), D(32; 0), B(8; 6), C(24; 6).
Треугольники AOD и COB подобны по двум углам: углы AOD и COB вертикальные, а углы ADO и CBO равны при параллельных AD и BC.
Следовательно, AO/OC = AD/BC = 2. Значит, AO/AC = 2/3, поэтому O имеет координаты (24 · 2/3; 6 · 2/3), то есть O(16; 4).
Пусть M — середина OD. По формуле координат середины отрезка M((16 + 32)/2; (4 + 0)/2), то есть M(24; 2).
У точек C и M одинаковые абсциссы, поэтому CM = |6 − 2| = 4.
Ответ: б) 4.