Окружность с центром в точке касается сторон угла с вершиной в точках и Отрезок — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от точки до прямой если известно, что и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным NA и NB. Поэтому в четырёхугольнике NAOB сумма углов при A и B равна 180°, откуда ∠AOB = 180° − ∠ANB.
Треугольник AOB равнобедренный, поэтому ∠ABO = (180° − ∠AOB)/2 = ∠ANB/2.
Поскольку BC — диаметр, лучи BO и BC совпадают. Следовательно, ∠ABC = ∠ABO = ∠ANB/2.
Ответ: ∠ANB = 2∠ABC, что и требовалось доказать.
б) Пусть H — середина AB. По свойству касательных NA = NB, поэтому в равнобедренном треугольнике ANB отрезок NH является высотой и биссектрисой. Значит, NH — искомое расстояние, BH = 18 и ∠BNH = ∠ANB/2.
Угол BAC прямой, поскольку опирается на диаметр BC. По пункту а) ∠BNH = ∠ABC. Следовательно, прямоугольные треугольники NHB и BAC подобны по двум углам; вершинам N, H, B соответствуют вершины B, A, C.
Отсюда NH/BA = BH/AC, то есть NH/36 = 18/14. Получаем NH = 36 · 18/14 = 324/7.
Ответ: 324/7.