Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если А= , В1С1= и площадь треугольника АВ1С1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Четырёхугольник BCB₁C₁ вписан в окружность, поэтому ∠CBC₁ + ∠CB₁C₁ = 180°.
Лучи B₁A и B₁C противоположны, следовательно, ∠AB₁C₁ + ∠CB₁C₁ = 180°. Значит, ∠ABC = ∠AB₁C₁.
Кроме того, ∠BAC = ∠B₁AC₁. По двум углам треугольники ABC и AB₁C₁ подобны с соответствием A ↔ A, B ↔ B₁, C ↔ C₁.
Ответ: а) треугольники ABC и AB₁C₁ подобны.
б) Вычисление.
Обозначим площадь треугольника AB₁C₁ через S. По условию площадь четырёхугольника BCB₁C₁ равна 8S, поэтому площадь треугольника ABC равна 9S.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, AB/AB₁ = AC/AC₁ = BC/B₁C₁ = 3, откуда BC = 3 · 6 = 18.
Пусть AC₁ = t, тогда AC = 3t. По теореме косинусов в треугольнике AC₁C получаем C₁C² = t² + 9t² − 2 · t · 3t · cos 45° = t²(10 − 3√2).
Значит, C₁C = t√(10 − 3√2). По теореме синусов в том же треугольнике sin ∠AC₁C = AC · sin 45°/C₁C = 3√2/(2√(10 − 3√2)).
Углы BC₁C и AC₁C смежные, поэтому их синусы равны. Окружность из условия описана около треугольника BC₁C.
По расширенной теореме синусов R = BC/(2 sin ∠BC₁C) = 18√(10 − 3√2)/(3√2) = 3√(20 − 6√2).
Ответ: б) BC = 18; R = 3√(20 − 6√2).