В правильной треугольной призме отметили точки и
на рёбрах и соответственно. Известно, что Через точки и провели плоскость перпендикулярно
грани
а) Докажите, что плоскость проходит через вершину
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью если все рёбра призмы равны
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Верхнее основание правильной призмы — равносторонний треугольник A₁B₁C₁. Поскольку K — середина A₁B₁, его медиана C₁K является высотой: C₁K ⟂ A₁B₁.
Прямая AA₁ перпендикулярна плоскости верхнего основания, поэтому её направление перпендикулярно C₁K. Через K проведём прямую l, параллельную AA₁.
Прямые l и A₁B₁ пересекаются в K и лежат в плоскости грани ABB₁A₁. Прямая C₁K перпендикулярна обеим этим прямым, следовательно, C₁K ⟂ (ABB₁A₁).
Плоскость α пересекает плоскость грани по прямой MK. По свойству перпендикулярных плоскостей прямая, проведённая в α через K перпендикулярно MK, перпендикулярна плоскости грани.
Через точку K существует единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. Значит, это прямая KC₁, поэтому C₁ принадлежит α.
Ответ: а) плоскость α проходит через C₁.
б) На грани ABB₁A₁ сечение проходит по отрезку MK, на верхнем основании — по KC₁, на грани ACC₁A₁ — по MC₁. Эти отрезки образуют замкнутый контур сечения выпуклой призмы, следовательно, сечение — треугольник MKC₁.
Из A₁M = 2MA и AA₁ = 12 получаем MA = 4 и A₁M = 8. Так как K — середина A₁B₁, A₁K = 6.
Треугольник MA₁K прямоугольный, поэтому MK = √(A₁M² + A₁K²) = √(8² + 6²) = 10.
Высота равностороннего треугольника A₁B₁C₁ равна C₁K = 12√3/2 = 6√3.
Поскольку C₁K перпендикулярна плоскости грани ABB₁A₁, она перпендикулярна MK. Поэтому S(MKC₁) = MK · KC₁/2 = 10 · 6√3/2 = 30√3.
Ответ: б) 30√3.