В пирамиде рёбра , и попарно перпендикулярны, а .
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Найдите расстояние от точки до плоскости .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках ADB, BDC и ADC имеем DA² + DB² = DB² + DC² = DA² + DC² = 72.
Вычитая равенства, получаем DA = DB = DC = 6. Основание ABC — равносторонний треугольник.
Пусть H — основание перпендикуляра из D на плоскость ABC. По теореме Пифагора AH² = DA² − DH², BH² = DB² − DH², CH² = DC² − DH², поэтому AH = BH = CH.
Следовательно, H — центр описанной окружности треугольника ABC. Значит, вершина D проектируется в центр правильного основания, поэтому пирамида DABC правильная.
Ответ: пирамида DABC правильная.
б) Из заданных отношений DM = DN = 6/3 = 2. Треугольник MDN прямоугольный равнобедренный, поэтому MN = 2√2.
Пусть P — середина MN. Медиана DP является также высотой треугольника MDN, поэтому DP ⟂ MN и DP = MN/2 = √2.
Поскольку DB перпендикулярна пересекающимся прямым DA и DC, она перпендикулярна плоскости ADC. Следовательно, DB ⟂ DP и DB ⟂ MN.
Таким образом, MN перпендикулярна двум пересекающимся прямым DB и DP плоскости DBP, значит, MN ⟂ (DBP).
В прямоугольном треугольнике DBP проведём высоту DH₁ к гипотенузе BP. Через H₁ в плоскости MNB проведём прямую, параллельную MN. Она перпендикулярна DH₁, поскольку MN ⟂ (DBP).
Прямая DH₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости MNB: BP и проведённой прямой. Поэтому DH₁ — искомое расстояние.
По теореме Пифагора BP = √(DB² + DP²) = √38. Выражая площадь треугольника DBP двумя способами, получаем DH₁ = DB · DP/BP = 6√2/√38 = 6√19/19.
Ответ: 6√19/19.