В правильной четырёхугольной пирамиде известно, что Через точку пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру провели плоскость
а) Докажите, что плоскость проходит через вершины и
б) В каком отношении плоскость делит ребро считая от вершины если площадь сечения равна
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим через M основание перпендикуляра из O на SC. Тогда M принадлежит плоскости α.
В правильной пирамиде SO перпендикулярна плоскости основания, поэтому BD ⟂ SO. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, BD ⟂ AC.
Прямые SO и AC пересекаются и лежат в плоскости SAC. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости BD ⟂ (SAC), откуда BD ⟂ SC.
Плоскость α проходит через O и перпендикулярна SC, поэтому содержит проходящую через O прямую BD, перпендикулярную SC. Значит, B и D принадлежат α.
Ответ: плоскость α проходит через B и D.
б) Треугольник SOC прямоугольный, а OM — его высота к гипотенузе SC, поэтому M лежит внутри SC. Сечение пирамиды — треугольник BMD: его стороны лежат в гранях SBC, SCD и в основании.
Поскольку BD ⟂ (SAC), имеем BD ⟂ OM. Точка O лежит на BD, поэтому OM — высота треугольника BMD.
Диагональ основания BD = √2. Из условия площади получаем: (1/2)·√2·OM = √2/3, следовательно, OM = 2/3.
Обозначим SO = h. Так как OC = √2/2, по теореме Пифагора SC = √(h² + 1/2).
Вычисляя площадь треугольника SOC двумя способами, получаем OM·SC = SO·OC. После возведения в квадрат: (4/9)(h² + 1/2) = h²/2.
Отсюда 8h² + 4 = 9h², то есть h² = 4.
По свойствам высоты прямоугольного треугольника SO² = SM·SC и OC² = MC·SC. Поэтому SM/MC = SO²/OC² = 4/(1/2) = 8.
Ответ: SM : MC = 8 : 1.