В правильном тетраэдре все рёбра равны 6. На рёбрах и отмечены точки и соответственно так, что
а) Докажите, что плоскость делит тетраэдр на два многогранника, объёмы которых относятся как
б) Найдите косинус угла между прямой и плоскостью
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Поскольку AM/AB = AK/AD = 4/6 = 2/3, по обратной теореме Фалеса MK ∥ BD. Треугольники AMK и ABD подобны с коэффициентом 2/3, поэтому отношение их площадей равно 4/9.
Плоскость CMK отсекает тетраэдр ACMK. Тетраэдры ACMK и ABCD имеют общую высоту, проведённую из C к плоскости ABD, поэтому V(ACMK)/V(ABCD) = 4/9.
На оставшийся многогранник приходится 5/9 объёма исходного тетраэдра. Следовательно, объёмы оставшегося многогранника и тетраэдра ACMK относятся как (5/9):(4/9) = 5:4.
Ответ: отношение объёмов равно 5:4.
б) Пусть E — середина BD, T — середина MK. В равносторонних треугольниках ABD и CBD медианы AE и CE являются высотами: AE ⟂ BD, CE ⟂ BD; AE = CE = √(6² − 3²) = 3√3.
Прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AE и CE, поэтому BD ⟂ (ACE). Так как MK ∥ BD, получаем MK ⟂ (ACE).
Подобие треугольников AMK и ABD переводит середину E стороны BD в середину T стороны MK. Поэтому T лежит на AE и AT = (2/3)AE = 2√3.
Плоскости ACE и CMK пересекаются по прямой CT. Опустим из A перпендикуляр AH на CT. Через H в плоскости CMK проведём прямую, параллельную MK. Она перпендикулярна плоскости ACE, а значит, и AH. Таким образом, AH перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости CMK, то есть AH ⟂ (CMK).
Следовательно, CH — ортогональная проекция AC на плоскость CMK. Найдём угол между AC и CT.
По теореме косинусов в треугольнике ACE: cos ∠CAE = (AC² + AE² − CE²)/(2AC · AE) = 36/(36√3) = 1/√3.
Так как лучи AT и AE совпадают, в треугольнике ACT имеем CT² = AC² + AT² − 2AC · AT · cos ∠CAE = 36 + 12 − 24 = 24.
Тогда cos ∠ACT = (AC² + CT² − AT²)/(2AC · CT) = 48/(24√6) = √6/3.
Угол ACT острый, поэтому проекция луча CA направлена по лучу CT. Значит, ∠ACT — искомый угол между прямой и плоскостью.
Ответ: √6/3.