В правильной четырёхугольной пирамиде точка середина ребра Через точку проведена плоскость параллельная плоскости и пересекающая ребро в точке
а) Докажите, что середина ребра
б) Найдите объём пирамиды если а угол между прямой и плоскостью основания пирамиды равен
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим через L точку пересечения плоскости α с ребром CD. Параллельные плоскости α и SBC пересекают плоскость основания по параллельным прямым, поэтому ML ∥ BC.
В квадрате ABCD прямая через середину AB, параллельная BC, пересекает CD в его середине. Следовательно, L — середина CD.
Плоскость SCD пересекает параллельные плоскости α и SBC по параллельным прямым LK и SC. Поэтому LK ∥ SC.
В треугольнике DSC прямая через середину L стороны DC, параллельная SC, пересекает DS в его середине по теореме о средней линии треугольника.
Ответ: K — середина SD.
б) Пусть O — центр квадрата ABCD, SO = h — высота пирамиды, Q — середина DO.
В треугольнике DSO отрезок KQ соединяет середины сторон DS и DO, поэтому KQ ∥ SO и KQ = h/2. Следовательно, KQ перпендикулярен плоскости основания и Q — ортогональная проекция K.
Проекцией MK на основание является MQ, поэтому ∠KMQ = 30°. В прямоугольном треугольнике MKQ получаем KQ = MQ · tg 30° = MQ/√3.
Так как AB = 24, имеем AM = 12, MO = 12, DO = AC/2 = 12√2.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMD: MD² = AM² + AD² = 12² + 24² = 720.
Отрезок MQ — медиана треугольника MDO. По формуле длины медианы MQ² = (2MD² + 2MO² − DO²)/4 = (1440 + 288 − 288)/4 = 360.
Значит, MQ = 6√10, KQ = 6√10/√3 = 2√30 и h = 2KQ = 4√30.
Объём пирамиды V = AB² · h/3 = 24² · 4√30/3 = 768√30.
Ответ: 768√30.