Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным: x²−9 > 0. Значит, x < −3 или x > 3.
б) Замена переменной. Пусть t = log₂(x²−9). Тогда исходное неравенство равносильно t²−9t+20 ≥ 0.
Разложим на множители: (t−4)(t−5) ≥ 0.
Метод интервалов: при t < 4 оба множителя отрицательны; при 4 < t < 5 они разных знаков; при t > 5 оба положительны.
С учётом равенства в граничных точках получаем t ≤ 4 или t ≥ 5.
в) Возвращение к x. Поскольку основание 2 > 1, логарифмическая функция возрастает, поэтому направления неравенств сохраняются.
Условие log₂(x²−9) ≤ 4 с учётом ОДЗ равносильно 0 < x²−9 ≤ 16, то есть 9 < x² ≤ 25.
Отсюда x принадлежит [−5; −3) ∪ (3; 5].
Условие log₂(x²−9) ≥ 5 равносильно x²−9 ≥ 32, то есть x² ≥ 41.
Отсюда x принадлежит (−∞; −√41] ∪ [√41; +∞).
Точки ±5 и ±√41 включаются, поскольку в исходном неравенстве достигается равенство. Точки ±3 исключаются по ОДЗ.
Ответ: (−∞; −√41] ∪ [−5; −3) ∪ (3; 5] ∪ [√41; +∞).