Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Необходимо x + 7 > 0 и x² + 14x + 49 > 0.
Так как x² + 14x + 49 = (x + 7)², общая ОДЗ: x > −7.
б) Равносильные преобразования.
Поскольку 512 = 2⁹, имеем log₅₁₂(x + 7) = log₂(x + 7)/9.
На ОДЗ x + 7 > 0, поэтому log₂((x + 7)²) = 2log₂(x + 7).
Подставляя и умножая на положительное число 9, получаем равносильное неравенство:
(x² − 18)log₂(x + 7) ≤ 0.
в) Метод интервалов и границы.
Первый множитель равен нулю при x = −3√2 и x = 3√2; второй — при x = −6.
На ОДЗ точки расположены так: −7 < −6 < −3√2 < 3√2.
Поскольку основание логарифма больше 1, log₂(x + 7) отрицателен при −7 < x < −6 и положителен при x > −6.
Множитель x² − 18 положителен вне отрезка [−3√2; 3√2] и отрицателен внутри него.
Поэтому на интервалах (−7; −6), (−6; −3√2), (−3√2; 3√2), (3√2; +∞) знаки произведения соответственно −, +, −, +.
Выбираем интервалы с отрицательным знаком и включаем все три нуля произведения, поскольку неравенство нестрогое. Точка −7 исключена по ОДЗ.
Ответ: (−7; −6] ∪ [−3√2; 3√2].