Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Для существования log₂(log₂ x) необходимо log₂ x > 0, то есть x > 1.
б) Равносильные преобразования.
На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству 2 в степени log₂(log₂ x) равно log₂ x.
Положим t = log₂ x. Тогда t > 0, а log₄ x = t/2.
Исходное неравенство равносильно t + t²/4 − 3 ≤ 0.
Умножая на 4, получаем t² + 4t − 12 ≤ 0, то есть (t + 6)(t − 2) ≤ 0.
в) Метод интервалов и границы.
Нули произведения: −6 и 2. На промежутках (−∞; −6), (−6; 2), (2; +∞) его знаки соответственно +, −, +.
Следовательно, −6 ≤ t ≤ 2. С учётом t > 0 получаем 0 < t ≤ 2.
Поскольку основание 2 больше 1, условие 0 < log₂ x ≤ 2 равносильно 1 < x ≤ 4.
Точка 1 исключена по ОДЗ; точка 4 включена, поскольку обращает неравенство в равенство.
Ответ: (1; 4].