Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Аргумент логарифма должен быть положительным: 2ˣ − 2 > 0, откуда x > 1.
б) Равносильные преобразования.
На ОДЗ по основному логарифмическому тождеству 3 в степени log₃(2ˣ − 2) равно 2ˣ − 2.
Поэтому исходное неравенство равносильно 4ˣ + 2ˣ − 20 ≤ 0 при x > 1.
Положим t = 2ˣ; тогда t > 2 и 4ˣ = t².
Получаем t² + t − 20 ≤ 0, то есть (t + 5)(t − 4) ≤ 0.
в) Метод интервалов и границы.
Нули произведения: t = −5 и t = 4. На интервалах (−∞; −5), (−5; 4), (4; +∞) его знаки соответственно «+», «−», «+».
Следовательно, неравенство выполняется при −5 ≤ t ≤ 4. С учётом t > 2 получаем 2 < t ≤ 4.
Возвращаясь к x, имеем 2 < 2ˣ ≤ 4. Поскольку функция 2ˣ возрастает, это равносильно 1 < x ≤ 2.
Точка x = 1 исключается по ОДЗ; при x = 2 исходное выражение равно нулю, поэтому эта точка включается.
Ответ: (1; 2].