Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Для существования логарифмов необходимо 4ˣ − 8 > 0 и 2ˣ⁺¹ > 0. Поэтому x > 1,5.
Знаменатель должен быть отличен от нуля: log₂((4ˣ − 8)/2ˣ⁺¹) ≠ 0.
б) Знак знаменателя.
Положим t = 2ˣ. На ОДЗ t > √8, а знаменатель равен log₂((t² − 8)/(2t)).
Поскольку основание 2 > 1, знак логарифма совпадает со знаком выражения (t² − 8)/(2t) − 1 = (t − 4)(t + 2)/(2t).
При t > √8 множители t + 2 и 2t положительны. Поэтому знаменатель отрицателен при t < 4 и положителен при t > 4.
Следовательно, он отрицателен при 1,5 < x < 2, равен нулю при x = 2 и положителен при x > 2. Точка x = 2 исключается из ОДЗ.
в) Метод интервалов.
Числитель 25x² − 120x + 144 = (5x − 12)² ≥ 0; он равен нулю только при x = 12/5 = 2,4.
На интервале (1,5; 2) числитель положителен, знаменатель отрицателен, поэтому дробь отрицательна.
На интервалах (2; 2,4) и (2,4; +∞) дробь положительна. При x = 2,4 дробь равна нулю, а знаменатель определён и положителен.
Граница x = 1,5 не входит в ОДЗ, x = 2 обращает знаменатель в нуль, точка x = 2,4 включается.
Ответ: (1,5; 2) ∪ {2,4}.