В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6,
а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат: A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), C(3; 3√3; 0). Ось Oz направим к вершине S.
Центр равностороннего основания O имеет координаты (3; √3; 0). В правильной пирамиде SO перпендикулярна основанию.
AO² = 3² + (√3)² = 12. По теореме Пифагора SO = √(SA² − AO²) = √(21 − 12) = 3. Поэтому S(3; √3; 3).
Из AM = 4 следует M(4; 0; 0). Так как SK:KB = 1:3, по формуле деления отрезка K(15/4; 3√3/4; 9/4).
Пусть H — основание перпендикуляра из K на плоскость ABC. Тогда H(15/4; 3√3/4; 0).
На отрезке CM возьмём точку X, для которой CX:XM = 3:1. По формуле деления отрезка X имеет координаты (15/4; 3√3/4; 0), следовательно, X = H и H лежит на CM.
Значит, прямая KH лежит в плоскости CKM и перпендикулярна плоскости ABC. По признаку перпендикулярности плоскостей (CKM) ⟂ (ABC).
Ответ: а) плоскости CKM и ABC перпендикулярны.
б) Выберем основанием пирамиды BCKM треугольник BCM. Его высота из C к прямой BM равна высоте равностороннего треугольника ABC, то есть 3√3.
Поскольку BM = 6 − 4 = 2, площадь основания равна S(BCM) = 2 · 3√3/2 = 3√3.
Высота пирамиды из K к плоскости BCM равна KH = 9/4. Основание высоты может лежать вне треугольника BCM, что не меняет формулу объёма.
V = S(BCM) · KH/3 = 3√3 · (9/4)/3 = 9√3/4.
Ответ: б) 9√3/4.